時間逆転ランダムウォーク（２次元）の確率を暗算で求める

２次元の時間逆転ランダムウォークをシミュレートするために、まずは確率を暗算できるようにしておきます。１次元の場合とにています。

（横÷縦）^2

２次元のランダムウォークは、上下左右にランダムに移動できます。これまでやってきた１次元のランダムウォークは左右にだけランダムに動けました。この違いは時間逆転した時の確率にどのような影響をあたえるのでしょうか？

２次元のランダムウォークを時間逆転（５ステップ目から４ステップ目に戻る）させたときの確率は次のようになります：

これが２次元の時間逆転ランダムウォークの確率です！中心に行く確率が高くなっているのがわかります。時間逆転ランダムウォークはバラバラなものを一点に収縮するものなので、集まる確率は高めに、散らばる確率は低めになっているのです（数字に着目してみて下さい。下のほうにある数字は大きめで、上のほうにある数字は小さめです）。

この図には上に行く確率しか描いてありませんが、これで充分なのです。図を９０°回転させると左に行く確率や右に行く確率がわかります。180°回転させれば下に行く確率です。