いつ始まるったのかわからない時間逆転ランダムウォークの確率

あなたが道路を歩いていと、道端を飛び跳ねる時間逆転コインに出会いました。そのコインはどこの誰がいつ落とすことになるのでしょうか？論点を明確にするため道路やコイン分子の間に摩擦はないものとして、コインの動きだけから、コインを落とした（落とすことになる）場所と時を推定するにはどうすればいいでしょうか？

それはもちろん、時間逆転ランダムウォークは始まる時間に近づけば近づくほど確率が歪むので、確率の歪みが大きくなり始めたら「ああ、もうすぐ時間逆転ランダムウォークが始まるんだな（ぼく達の時間から見ると、もうすぐ終わるんだな）」と考えればよいのです！コインは飛び跳ねを終える寸前に舞い上がり、時間逆転人の時間逆転財布の中に魔法のように吸い込まれるでしょう。通常の確率ならありえないことです。歪みこそが始まりの――あるいは終わりの――前兆なのです。

デモ

ランダムウォークが始まるかもしれない時間の範囲：

操作

[Enter]キー：ランダムに時間逆転ランダムウォークを進める。

[←]キー：左へ進める。

[→]キー：右へ進める。

灰色のマス目をクリック：プログラムをリセットしそのマス目を現在地に設定。

[ランダムウォークが始まるかもしれない時間の範囲]：候補となる時間の範囲を広げたり狭めたりします。

解説

2つの図があります。上の赤いグラフはどこが始まる場所なのか確率を表示しています。最初は情報が皆無なのですべて同じ確率ですが、時間逆転ランダムウォークを進めれば進めるほど、グラフは歪みどこが始まりの場所っぽいのか絞られてきます。

下の図は、時間軸も含めたより詳細な確率の図です。マス目一つ一つに「そこが時間逆転ランダムウォークのスタート地点である確率」が割り振られており、赤いバーの長さで表されています。ありえないことがわかったらそこの確率はゼロになるので、赤いバーは完全に消えますが、その分他の場所の確率は上がるのでそっちは赤いバーが大きくなります。

時間の範囲

本来なら、いつ時間逆転ランダムウォークが始まるのかわからないので時間方向に無限のマス目が必要であり、それを上手く表示するためにあなたのディスプレイは縦に無限個のピクセルがなければいけないでしょう。

ひょっとしたら無限でもうまい方法もあるのかもしれませんが、今回はかんたんに、有限範囲でスタートを推定することとします。なにしろ無限の未来に始まる時間逆転ランダムウォークというのは無限の歴史を持っているはずで、無限の時間から生まれた想像を絶する超テクノロジー文明が財布からコインを落とすなどという初歩的なミスをするとは考えにくいのです。