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プログラミング、3DCGとその他いろいろについて

波のかけ算

これまで波を足す計算をしてきましたが、かけ算するとどうなるでしょう?このページでは波のかけ算を行います。


波×波

ここまで、群速度やフーリエ変換など波を足す計算について見てきました。ここではお遊びとしてかけ算をしてみましょう。というのも、小学生は足し算引き算を覚えた後かけ算を学ぶからで、それなら私達が波の足し算をした後波のかけ算をしたとしても何の不思議もありません!

デモ

波のかけ算は次のデモのようになります:

2つ目の波 波長:

同じ波同士なら波長が半分に

上のデモで、足し算のときには決して起こり得なかったことが起きていることに気づいたかも知れません。2つの波をかけると波長が半分になります。もとの波の波長は10ですが、かけると5になるのです(すこし縦と横にずれていますが、波は波です)。

どうしてそうなるのか

どうしてそうなるのでしょう?足し算のときは、同じ波長の波を足しても波長は全く変わりませんでした。しかしかけ算だと波長は変化するようです。どうしてでしょう?

それは波の高さを数字として書くとわかります:

この図は波の高さを表示したものです。かけ算に使う波の山の高さは1,谷は-1、それらの中間は0です。重要なのは、谷と谷をかけると山になるという点です。これは-1と-1をかけると1になるからです。そして山と谷の中間だった場所は、2つの山に囲まれて新たな谷となります。こういうわけで波長が変わったのです。波長というのは山と山の間の距離ですから、新たな山ができるということは波長が短くなるということなのです。

繰り返し

ところで、上のデモプログラムで波長を1に変えると、次のような繰り返しパターンが作れることに気がついたかも知れません。これはまるで和音の波形のようです。

和音とは波の足し算の結果ですから、かけ算と足し算が完全に違うというわけでもなさそうです。じっさい、数学的には波のかけ算の結果は波の足し算で表すことが出来ます(フーリエ変換ではもちろんのこと、もっと単純な方法でかけ算の結果を再現することも出来ます)。

つまり、このページのデモは何ら新しい結果を生み出していなかったというわけです……でもまあ、物事を別の側面から見ることは出来ました。一歩前進です!

まとめ

波のかけ算は足し算とは違った結果になります。足し算では同じ波を足しても波長は変わりませんが、かけ算では波長が変わります。

一方両者に共通するものもあり、計算結果はなんらかの繰り返すパターンとなります。実際、波のかけ算の結果できる図形を、波の足し算で作ることは可能です。2つの波をかけたからといって、新しいパターンを見れるわけではないというわけです。

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