かんたん量子力学 ラグランジアン

前回の経路積分のページではラグランジアンという概念を使いましたが、それがどうしてそういう計算になるのかについては全く述べませんでした。今回は、それについてかんたんに理解できる説明をします。

計算方法の復習

当初物理学者たちは、量子力学の計算にシュレディンガー方程式を使っていましたが、「経路積分」でも計算でき、考える問題によってはこちらのほうがかんたんです。

経路積分では、宇宙の未来を、現在からその未来に至るまでに取ることのできる可能なすべての経路たちによる一種の「投票」で決めます。それは人間が行う普通の投票とちがって、賛成か反対かではなく矢印を投票用紙に書き込みます。経路たちがみな同じような矢印を書いていればその未来が現実になる確率は高く、バラバラの方向の矢印を書いていればその未来は否決される確率が高いです。（皆の気もちが一つになっていれば可決されるわけです！）

この「矢印」というのは新しい概念のようで、実は私達がすでに知っているものです。これは波の重ね合わせによる強まりや打ち消し合いを言い換えたものに過ぎないのです（同じ方向の矢印は波の強め合い、バラバラ方向の矢印は打ち消し合いです）。ですから経路積分は波動関数と同じことができるわけです。

「ラグランジアン」はその矢印の回転を表します。前回では、速度（単位時間あたりの移動距離）の2乗に比例するということを述べました（下の図は前回から再掲）。

2乗に比例するということがわかっていれば、一応前回のように計算はできます。しかしなぜ2乗なのでしょう？どうして３乗や4乗や…１００乗ではないのでしょうか？

シュレディンガー方程式からみちびく

この「２」乗というのも、実は私達がすでに知っていることをもとにかんたんに導き出せます。シュレディンガー方程式によると、速く動く物体は短い波長の波で表され、遅いと長い波長なのでした。２倍速いなら波長は1 / 2です。

これが何を意味するのかというと、経路積分のように可能なすべての経路を考えなければならない場合、遠くまで行く経路は波長が短くなっているはずだ、ということです。なにしろ遠くに行くには速くなければいけませんからね！

この図は「矢印を移動距離の２乗に比例した角度だけ回転させる」ルールを波として図にしたものです。中心は波長が長いですが、両端は波長が短くなっています。これは、中心（スタート地点）から離れれば離れるほど速度が速くなっていることを表します。

これが２乗の正体です！矢印は、①中心から離れれば離れるほど回転し、②中心から離れれば離れるほど回転速度も上がります。よって、この２つが合わさって２乗になるのです。

このようにしてできた「端がギュウギュウ詰めの」波をちょっとずらして足し合わせると、ここまでシミュレーションで何度も見てきた我らが波動関数の形になります。

シュレディンガー方程式のシミュレーションは、波を分解し、それらを「端がギュウギュウ詰めの」波に変化させ、それをまた分解しそれぞれを「端がギュウギュウ詰めの」波に変化させ、最後にすべて足し合わせることによって行うことができるのです。これが経路積分の考え方です。

エネルギーを引く

ここまでの説明で前回のシミュレーションは完全に説明できます。しかし正確に言うと、ここからエネルギーを引かなければいけません（前回のシミュレーションが間違いだということではありません。時間スケールが少し違うだけです）。

どうしてかというと、波動関数はエネルギーが多ければ多いほど回転が速いからです（しかもその回転は、ここまでに述べた矢印の回転とは逆方向です）。というわけで、せっかく回転させた矢印を、逆方向にエネルギーの分だけ回転させる必要があります。

正確なラグランジアン

ではより正確な矢印の方向をデモプログラムで確認してみましょう：

速度：
ポテンシャルエネルギー（重力や電磁気力などの、物質の速度によらないエネルギー）：

このプログラムで操作できるのは粒子の速度と粒子が存在する場所のポテンシャルエネルギーです。（ポテンシャルエネルギーとは重力などによるエネルギーで、たとえば高層ビルの屋上では高く、地面では低いです。屋上のものが地面まで落ちると猛スピードになるのは、ポテンシャルエネルギーが速度に変換されたからです）

速度による回転

最初に速度を上げてみてください。ラグランジアンが大きくなるのが確認できると思います。しかも、速度を上げれば上げるほどラグランジアンの上昇が大きくなります。これは、このときラグランジアンが速度の２乗に比例しているからです。前回のシミュレーションはこの状態です。

ポテンシャルエネルギーによる回転

ところが、速度以外の要素もラグランジアンに関わることがあります。こんどはポテンシャルエネルギーを上げてみてください。そうすると、ラグランジアンは小さくなります。エネルギーはラグランジアンの矢印をもとに戻してしまうのです。

「矢印をもとに戻す」というと、せっかく回転させたのにどうしてそんなことをするんだと思うかもしれません。実はこれで重力による物体の軌道の曲がりが説明できます。矢印をもとに戻すということは、波長が長くなるということで、波長の短いところと長いところが隣り合うことによって波の進行方向がねじまがるのです。ちょうど凸レンズが、ガラス中と空気中の波長の長さを変えることによって光の進行方向を変えるようなものです。

前回のシミュレーションでは、宇宙に粒子が一つしか無い状況を考えたため、重力や電磁気力などは無視しましたが、それらの力も考慮しようとしたら、エネルギーの分逆回転させなければならないのです。